Superficies Mínimas

• SUPERFICIES MÍNIMAS:





Superficie:



En matemática, una superficie es una variedad bidimensional, es decir un objeto topológico que es “parecido” al plano. Eso significa que para cada punto P de una superficie hay una vecindad de P (una pequeña región que le rodea) que es homeomorfa a un disco abierto de R2. Esa propiedad de homeomorfismo con el plano pewrmite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier punto en la superficie.
En física, una superficie es una región “delgada” del espacio que separa dos fases de propiedades difernentes.




Homeomorfo:



Una taza de café y una dona son… Homeomorfas!

Se dice que dos grafos G1 y G2 son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.








Grafo:



Del griego grafos: dibujo; imagen. Conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.





Estructura:



Disposición y orden de las partes dentro de un todo.
En ingeniería y arquitectura se entiende como estructura aquella construcción destinada a soportar su propio peso y la presencia de acciones exteriores (fuerzas; momentos; cargas térmicas…) sin perder las condiciones de funcionalidad para las que fue concebida ésta.













Geometría:
Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio como lo son: puntos; rectas; planos; polígonos; poliedros; curvas; superficies…
Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos como el compás; el teodolito y el pantógrafo.
Una breve alusión a unos de los grandes genios de la geometría: el señor Escher:









Paraboloide hiperbólico:
En matemáticas, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional. Al paraboloide hiperbólico también se le denomina “silla de montar” por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.



















Cuádrica:
Una superficie cuádrica (o simplemente cuádrica) es una hipersuperficie D- dimensional representada por una ecuación de segundo grado en variables (coordenadas) espaciales.


Parábola:
Es una curva plana que se puede ajustar en relación a un sistema de coordenadas ortonormales, con la relación y= ax2 + bx + c y - yo = a (x - xo)2 o con la aplicación de una transformación que represente un giro a dicha relación.


















Hipérbola:
Es un tipo de sección cónica. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. Se obtiene al sacar las pendientes abscisas y sumar todos sus ángulos iguales tales como los catetos y la hipotenusa.


Hipérbola de luz en un plano paralelo al eje (fachada).
















Hiperboloide de revolución:
Es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus 2 ejes de simetría. Estas superficies son de 2 clases: de 1 y de 2 hojas.













Tensión:
Se denomina tensión al valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en el entorno de un punto material dentro de un cuerpo material o medio continuo.












El texto en general habla de cómo la Arquitectura, aunque parezca una profesión de vínculos con la imaginación, también es una que utiliza las matemáticas como base de creación y construcción.
Las superficies mínimas son conocidas desde el siglo XVII y desde entonces se han utilizado para muchas cosas. Sin embargo, sólo hasta que Gaudí pensó en ellas se empezaron a aplicar verdaderamente en la Arquitectura y aunque al principio no se encontraron muchas formas de modificarlas para lograr darles la forma que se deseaba, con el tiempo se han desarrollado nuevas técnicas para ello, aunque no de manera definitiva.
4- Relación con sistemas complejos:
La relación con los sitemas complejos radica posiblemente en lo que podríamos bien denominar su extrañeza interna y una idiosincracia no visible al ojo furtivo: el paraboloide hiperbólico aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas a través de la variación del ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva, denominándolas así “Superficies Regladas”.
Más allá, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por 4 puntos en el espacio que no estén en el mismo plano.
5- Relación con modelado y simulación:
Cómo hemos visto anteriormente, el modelado y en general el modelo se define cómo una abstracción y la simulación como la manipulación de un objeto sobre diferentes escenarios con el fin de pronosticar y predecir.
De esta manera, podríamos bien decir que las superficies mínimas no son más que la abstracción de la gemoetría como tal, como la manipulación de superficies matemáticas previamente establecidas pero trasladadas al espacio arquitectónico con el ánimo de ver si funcionan…
6- Conclusiones:
Las matemáticas, lejos de ausentarse en el “momento de creación del artista”, están presentes en cada parte del diseño sobre todo teniendo en cuenta que “toda creación arquitectónica es geometría”, idea presente en la Arquitectura desde tiempos remotos.
A las superficies mínimas se les ha adjudicado la propiedad de tener el área mínima entre superficies con la misma frontera, por lo cual permiten mayor grado de libertad en cuanto a forma y economía del material. Éstas han sido recurrentes en la Arquitectura y en el diseño en términos generales sobre todo la del paraboloide hiperbólico. Y han sido trasladadas al espacio real sobre todo en Arquitecturas como las de Félix Candela y el mismo Gaudí:



Y en efecto, la Arquitectura posiblemente podría resumirse como la conjunción de diversas superficies mínimas, como la apología a la geometría: Sin embargo,



Sin embargo, las superficies mínimas pese a su grado de libertad, están totalmente determinadas y esto hace que los diseñadores de superficies solo puedan actuar sobre la frontera y esperar a que la superficie mínima resultante ofrezca algo “razonable” y “seductor”, entrando así en lo que podríamos bien llamar un proceso estocástico en el que no se tiene ningún tipo de certeza sobre lo que pueda suceder con la forma…